Factorización de polinomios...con ayuda geométrica!
La idea de la actividad es entender el significado de la factorización de polinomios de segundo grado a partir de la manipulación de figuras geométricas.
La construcción de los elementos se logra del siguiente modo:
- Pegar dos cartulinas entre sí, en lo posible elegir colores contrastantes.
- Recortar varios cuadrados de lado 10 cm.
- Recortar varios rectángulos de lados 10cm. por 1,5 cm. es importante que no entren una cantidad justa de rectángulos en los cuadrados.
- Recortar varios cuadrados de 1,5 cm de lado.
Los lados del cuadrado (de 10 cm.) los llamamos "x" y los lados de 1,5 representan la unidad. Habrá que asignarle un signo a cada color de la cartulina. En este caso diremos que rosa es positivo y marrón negativo.
Las actividades que se pueden realizar son variadas: dibujar segmentos de determinadas medidas por ejemplo 3x o 2x+5; también se puede concretizar las operaciones con polinomios por ejemplo 2(x+2) o 2x.3x o 2x.(x+2) incluso (5x^2-3x+2)-(x^2+5x+3) para trabajar la propiedad distributiva, la suma y la multiplicación.
Las actividades que se pueden realizar son variadas: dibujar segmentos de determinadas medidas por ejemplo 3x o 2x+5; también se puede concretizar las operaciones con polinomios por ejemplo 2(x+2) o 2x.3x o 2x.(x+2) incluso (5x^2-3x+2)-(x^2+5x+3) para trabajar la propiedad distributiva, la suma y la multiplicación.
Una de las actividades que empieza a marcar el camino hacia la factorización es completar la tabla que relaciona la base y la altura de un rectángulo con su área.
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Base
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Altura
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Área
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| x-3 |
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x^2-x-6 |
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2x+3 | 2x^2+5x+3 |
La experiencia de factorizar específicamente se lleva a cabo pidiéndoles a los alumnos que construyan un rectángulo perfecto con determinada área, por ejemplo x^2+2x con el material concreto y que escriban la expresión polinómica equivalente a partir de la multiplicación de los lados de ese rectángulo.
Para ello los alumnos construyen lo siguiente:
donde el cuadrado ( de 10cm. por 10 cm.) es x^2 y cada rectángulo (de 10 cm. por 1,5cm.) es 1.x, es decir que en la construcción están presentes: x^2+x+x=x^2+2x
Entonces el área de ese rectángulo se puede escribir también como x.(x+2) que es la expresión factorizada de la primera.
Otros ejemplos...
Factorizar los siguientes polinomios:
Los alumnos utilizarán las siguientes piezas
Para armar el siguiente cuadrado
Otros ejemplos...
Factorizar los siguientes polinomios:
- x^2-4x+3
Los alumnos utilizarán las siguientes piezas
Para armar el siguiente cuadrado
En esta construcción se identifica que x^2-4x+3=(x-1).(x-3) los 3 cuadrados pequeños se superponen donde se superponen los rectángulos que representan el negativo para que se equilibre.
Aunque serán necesarias piezas auxiliares como se muestra a continuación.
Observación: En este caso fué necesario sumar y restar 2x.
Esta experiencia solo vale para introducir a los alumnos a la noción de factorización de polinomios de segundo grado en una variable. No permite ahondar mucho pues empieza a perder pertinencia en ejemplos más avanzados donde el material comienza a transformarse en limitante.
Si todavía tienen ganas de seguir probando prueben con factorizar las siguientes expresiones:
x^2+5x+5 x^2-6x+9 2x^2+6x+4
- x^2-3x-10
Para lo cual se utilizarán las piezas
Aunque serán necesarias piezas auxiliares como se muestra a continuación.
Observación: En este caso fué necesario sumar y restar 2x.
Esta experiencia solo vale para introducir a los alumnos a la noción de factorización de polinomios de segundo grado en una variable. No permite ahondar mucho pues empieza a perder pertinencia en ejemplos más avanzados donde el material comienza a transformarse en limitante.
Si todavía tienen ganas de seguir probando prueben con factorizar las siguientes expresiones:
x^2+5x+5 x^2-6x+9 2x^2+6x+4
