Factorización de polinomios...con ayuda geométrica!
La idea de la actividad es entender el significado de la factorización de polinomios de segundo grado a partir de la manipulación de figuras geométricas.
La construcción de los elementos se logra del siguiente modo:
- Pegar dos cartulinas entre sí, en lo posible elegir colores contrastantes.
- Recortar varios cuadrados de lado 10 cm.
- Recortar varios rectángulos de lados 10cm. por 1,5 cm. es importante que no entren una cantidad justa de rectángulos en los cuadrados.
- Recortar varios cuadrados de 1,5 cm de lado.
Los lados del cuadrado (de 10 cm.) los llamamos "x" y los lados de 1,5 representan la unidad. Habrá que asignarle un signo a cada color de la cartulina. En este caso diremos que rosa es positivo y marrón negativo.
Las actividades que se pueden realizar son variadas: dibujar segmentos de determinadas medidas por ejemplo 3x o 2x+5; también se puede concretizar las operaciones con polinomios por ejemplo 2(x+2) o 2x.3x o 2x.(x+2) incluso (5x^2-3x+2)-(x^2+5x+3) para trabajar la propiedad distributiva, la suma y la multiplicación.
Una de las actividades que empieza a marcar el camino hacia la factorización es completar la tabla que relaciona la base y la altura de un rectángulo con su área.
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Base
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Altura
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Área
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x-3
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x^2-x-6
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2x+3
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2x^2+5x+3
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La experiencia de factorizar específicamente se lleva a cabo pidiéndoles a los alumnos que construyan un rectángulo perfecto con determinada área, por ejemplo x^2+2x con el material concreto y que escriban la expresión polinómica equivalente a partir de la multiplicación de los lados de ese rectángulo.
Para ello los alumnos construyen lo siguiente:
donde el cuadrado ( de 10cm. por 10 cm.) es x^2 y cada rectángulo (de 10 cm. por 1,5cm.) es 1.x, es decir que en la construcción están presentes: x^2+x+x=x^2+2x
Entonces el área de ese rectángulo se puede escribir también como x.(x+2) que es la expresión factorizada de la primera.
Otros ejemplos...
Factorizar los siguientes polinomios:
Los alumnos utilizarán las siguientes piezas
Para armar el siguiente cuadrado
En esta construcción se identifica que x^2-4x+3=(x-1).(x-3) los 3 cuadrados pequeños se superponen donde se superponen los rectángulos que representan el negativo para que se equilibre.
Para lo cual se utilizarán las piezas
Aunque serán necesarias piezas auxiliares como se muestra a continuación.
Observación: En este caso fué necesario sumar y restar 2x.
Esta experiencia solo vale para introducir a los alumnos a la noción de factorización de polinomios de segundo grado en una variable. No permite ahondar mucho pues empieza a perder pertinencia en ejemplos más avanzados donde el material comienza a transformarse en limitante.
Si todavía tienen ganas de seguir probando prueben con factorizar las siguientes expresiones:
x^2+5x+5 x^2-6x+9 2x^2+6x+4
